Wendepunkt

An einem Wendepunkt ändert der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten.

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Merke

Notwendiges Kriterium

Voraussetzung für das Vorhandensein von Wendepunkten ist, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle besitzt:
$f''(x_W)=0$

Hinreichendes Kriterium

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn außerdem gilt:
$f'''(x_W)\neq0$
i

Vorgehensweise

  1. Ableitungen bestimmen
  2. Nullstelle(n) der zweiten Ableitung berechnen
  3. Nullstelle(n) in die dritte Ableitung einsetzen
  4. Wendepunkt(e) angeben

Beispiel

Bestimme die Wendepunkte der Funktion $f(x)=x^3+2x^2-4x-8$.

  1. Ableitungen bestimmen

    $f'(x)=3x^2+4x-4$ (die erste Ableitung wird nicht gebraucht)
    $f''(x)=6x+4$
    $f'''(x)=6$

  2. Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen

    $f''(x)=6x+4$
    $x_W\Leftrightarrow f''(x_W)=0$

    $6x+4=0\quad|-4$
    $6x=-4\quad|:6$
    $x_W=-\frac23$

  3. Nullstellen in die dritte Ableitung einsetzen

    Die soeben ermittelten Stellen setzen wir in die dritte Ableitung ein.
    $f'''(x)=6$

    $f'''(-\frac23)=6\neq0$
    => an der Stelle $x=-\frac23$ liegt ein Wendepunkt vor

    Hinweis: Der berechnete Wert war ausschließlich zur Überprüfung und wird nicht mehr gebraucht.

  4. Extrempunkte angeben

    Es sollen WendePUNKTE angegeben werden: Deshalb noch die y-Koordinate mit der ursprünglichen Funktion berechnen.

    $f(-\frac23)$ $=(-\frac23)^3+2\cdot(-\frac23)^2-4\cdot(-\frac23)-8$ $=-4,74$
    => Wendepunkt: $W(-\frac23|-4,74)$