Extrempunkte

Die Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen bezeichnet man als Extrempunkte.

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Merke

Notwendiges Kriterium

Voraussetzung für das Vorhandensein von Extrempunkten ist, dass die erste Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle besitzt:
$f'(x_E)=0$

Hinreichendes Kriterium

Ob es sich nun um einen Hoch-, Tiefpunkt oder keines von beidem handelt, ist abhänig von der zweiten Ableitung
Es liegt ein

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Vorgehensweise

  1. Ableitungen bestimmen
  2. Nullstelle(n) der ersten Ableitung berechnen
  3. Nullstelle(n) in die zweite Ableitung einsetzen
  4. Extrempunkt(e) angeben

Beispiel

Bestimme die Extrempunkte der Funktion $f(x)=x^3+2x^2-4x-8$.

  1. Ableitungen bestimmen

    $f'(x)=3x^2+4x-4$
    $f''(x)=6x+4$

  2. Nullstellen der Ableitung berechnen

    Es liegt eine quadratische Gleichung vor, die man beispielsweise mit der PQ-Formel lösen kann.
    $f'(x)=3x^2+4x-4$
    $x_E\Leftrightarrow f'(x_E)=0$

    $3x^2+4x-4=0\quad|:3$
    $x^2+\frac43x-\frac43=0$
    $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
    $x_{1,2} = -\frac{2}{3} \pm\sqrt{(\frac23)^2+\frac43}$
    $x_{1,2} = -\frac{2}{3} \pm\sqrt{\frac{16}{9}}$
    $x_{1,2} = -\frac{2}{3} \pm\frac43$
    $x_{E_{1}}=\color{blue}{-2} \quad x_{E_{2}}=\color{green}{\frac23}$

  3. Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen

    Die soeben ermittelten extremwertverdächtigen Stellen setzen wir in die zweite Ableitung ein.
    $f''(x)=6x+4$

    $f''(\color{blue}{-2})=6\cdot\color{blue}{-2}+4=-8<0$
    => an der Stelle $x=-2$ liegt ein Hochpunkt vor
    $f''(\color{green}{\frac23})=6\cdot\color{green}{\frac23}+4=8>0$
    => an der Stelle $x=\frac23$ liegt ein Tiefpunkt vor

    Hinweis: Die berechneten Werte $8$ und $-8$ waren nur zur Überprüfung, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Sie werden nicht mehr gebraucht.

  4. Extrempunkte angeben

    Es sollen Hoch- und TiefPUNKTE angegeben werden: Deshalb noch die y-Koordinate mit der ursprünglichen Funktion berechnen.

    $f(\color{blue}{-2})$ $=(\color{blue}{-2})^3+2\cdot(\color{blue}{-2})^2-4\cdot(\color{blue}{-2})-8$ $=0$
    => Hochpunkt: $H(\color{blue}{-2}|0)$

    $f(\color{green}{\frac23})$ $=(\color{green}{\frac23})^3+2\cdot(\color{green}{\frac23})^2-4\cdot\color{green}{\frac23}-8$ $ \approx-9,48$
    => Tiefpunkt: $T(\color{green}{\frac23}|-9,48)$