Fläche zwischen Funktionsgraphen

Mithilfe des bestimmten Integrals lässt sich auch die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen.

Gesucht ist der eingeschlossene Flächeninhalt von zwei Funktionen im Intervall $[a;b]$. Dazu subtrahiert man die kleinere von der größeren Fläche ($f(x) > g(x)$ im Intervall $[a;b]$):

Jetzt kann noch die Summenregel rückwärts angewendet werden.
Damit die Formel auch gilt, wenn $f(x) < g(x)$ im Intervall $[a;b]$, setzt man noch Betragsstriche.

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Funktionen $f(x)=\frac12x^2+1$ und $g(x)=-\frac12x^2+x$ über dem Intervall $[0,5; 2]$

1. Differenzenfunktion

   Zuerst wird $g(x)$ von $f(x)$ subtrahiert und zusammengefasst.
   $f(x)=\frac12x^2+1$
   $g(x)=-\frac12x^2+x$
   
   $h(x)=f(x)-g(x)$ $=(\frac12x^2+1)-$ $(-\frac12x^2+x)$ $=x^2-x+1$

2. Bestimmtes Integral aufstellen

   Integrationsgrenzen und $h(x)$ in das bestimmte Integral einsetzen und Integral berechnen.
   $\int_a^b (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x$ $=\int_a^b h(x)\,\mathrm{d}x$
   
   $\int_{0,5}^2 (x^2-x+1)\,\mathrm{d}x$

3. Integral berechnen

   $\int_a^b h(x) \, \mathrm{d}x$ $= [H(x) + C]_a^b$ $= H(b) - H(a)$
   
   $H(x)=\frac13x^3-\frac12x^2+x$
   
   $\int_{0,5}^2 (x^2-x+1)\,\mathrm{d}x$ $=[\frac13x^3-\frac12x^2+x]_{0,5}^2$ $=(\frac13\cdot2^3-\frac12\cdot2^2+2)-$ $(\frac13\cdot0,5^3-\frac12\cdot0,5^2+0,5)$
   $=\frac83-\frac{5}{12}$ $=\frac94$
   

4. Flächeninhalt bestimmen

   Die Skizze des Graphen zeigt, dass die Funktion im Intervall $[2; 4]$ negativ ist. Daher muss das Vorzeichen noch gewechselt werden
   $A=\int_{0,5}^2 (x^2-x+1)\,\mathrm{d}x$ $=\frac94$ $=2,25$