Berechnung bestimtmer Integrale

Ein bestimmtes Integral kann mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung berechnet werden, indem man die Integrationsgrenzen $a$ und $b$ jeweils in eine Stammfunktion von $f$ einsetzt und subtrahiert:

$\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ $= [F(x) + C]_a^b$ $= F(b) - F(a)$
i

Tipp

Um die Stammfunktion bilden zu können, sollte man die Integrationsregeln beherschen.
i

Vorgehensweise

  1. Stammfunktion berechnen
  2. Integrationsgrenzen in Stammfunktion einsetzen
  3. Integral berechnen: $F(b)-F(a)$

Beispiel

$\int_\color{red}{2}^\color{blue}{3} 3x^2 \, \mathrm{d}x$

  1. Stammfunktion berechnen

    Hier wird die Potenzregel angewendet.
    $F(x)=\int 3x^2=x^3$

  2. Integrationsgrenzen in Stammfunktion einsetzen

    Nun wird $x$ der Stammfunktion mit den Integrationsgrenzen des Integrals ersetzt.
    $F(\color{red}{a})=F(\color{red}{2})=\color{red}{2}^3$
    $F(\color{blue}{b})=F(\color{blue}{3})=\color{blue}{3}^3$

  3. Integral berechnen

    Jetzt muss das nur noch in die Formel eingesetzt werden.
    $\int_\color{red}{a}^\color{blue}{b} f(x) \, \mathrm{d}x$ $= [F(x) + C]_\color{red}{a}^\color{blue}{b}$ $= F(\color{blue}{b}) - F(\color{red}{a})$

    $\int_\color{red}{2}^\color{blue}{3} 3x^2 \, \mathrm{d}x$ $= [x^3]_\color{red}{2}^\color{blue}{3}$ $= \color{blue}{3}^3 - \color{red}{2}^3$ $=27-8$ $=19$