Flächenberechnung durch Intervallaufteilung

Eine Ausnahme bei der Flächenberechnung bilden Funktionen mit Vorzeichenwechsel im Intervall $[a; b]$. Das bedeutet, die Fläche liegt teilweise über und teilweise unterhalb der x-Achse.

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Merke

Falls die gesuchte Fläche sowohl ober- als auch unterhalb der x-Achse liegt, muss man die Teilflächen einzeln berechnen.
Das tritt ein, wenn die Funktion im Intervall eine Nullstelle besitzt.
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Vorgehensweise

  1. Nullstellen ermitteln und Intervalle bilden
  2. Bestimmte Integrale für die einzelnen Intervalle berechnen
  3. Flächeninhalt bestimmen

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion $f(x)=x^2+2x$ und der x-Achse über dem Intervall $[-1; 1]$

  1. Intervalle bilden

    Zuerst berechnet man die Nullstelle(n) der Funktion.
    $x^2+2x=0$
    (Quadratische Gleichung lösen, z.B. Ausklammern)
    $x(x+2)=0$
    $x_{N_1}=0$ und $x_{N_2}=-2$

    $x_{N_1}=0$ liegt im Intervall $[-1; 1]$. Daher muss die Fläche in zwei Teilstücke unterteilt werden:
    $A_1$ über $[-1;0]$
    $A_2$ über $[0;1]$

  2. Bestimmte Integrale aufstellen und berechnen

    Für beide Intervalle muss nun jeweils ein Integral aufgestellt und berechnet werden.
    $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ $= [F(x) + C]_a^b$ $= F(b) - F(a)$
    $F(x)=\frac13x^3+x^2$

    $A_1$ über $[-1;0]$:
    $\int_{-1}^0 (x^2+2x) \, \mathrm{d}x$ $= [\frac13x^3+x^2]_{-1}^0$ $= \frac13\cdot0^3+0^2 -$ $\frac13\cdot(-1)^3+(-1)^2$
    $=0-\frac23$ $=-\frac23$


    $A_2$ über $[0;1]$:
    $\int_0^1 (x^2+2x) \, \mathrm{d}x$ $= [\frac13x^3+x^2]_0^1$ $= \frac13\cdot1^3+1^2 -$ $\frac13\cdot0^3+0^2$
    $=\frac43-0$ $=\frac43$

  3. Flächeninhalt bestimmen

    Jetzt müssen die Inhalte der Flächenstücke bestimmt und dann addiert werden.
    $A_1=|\int_{-1}^0 f(x)\,\mathrm{d}x|$ $=|-\frac23|$ $=\frac23$
    $A_2=\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ $=\frac43$

    $A=A_1+A_2$ $=\frac23+\frac43=2$