Binomialkoeffizient

Ohne Zurücklegen, Reihenfolge unwichtig

Aus einer Urne mit $n$ verschiedenen Kugeln werden nacheinander $k$ Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wenn die Reihenfolge nicht beachtet wird, ist die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten $N$:

$N=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$ $={n\choose k}$
i

Info

$n!$ bezeichnet man als n-Fakultät und ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n.

Beispiel: $5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5$

Den Term ${n\choose k}$, gelesen: „n über k“, bezeichnet man als Binomialkoeffizienten.

i

Info

Die meisten Taschenrechner besitzen eine eigene Taste für den Binomialkoeffizienten: die nCr-Taste.

Sonst muss man immer den Bruch mit den Fakultäten eingeben.

Beispiel

Beim Lotto werden aus 49 Zahlen ohne Zurücklegen 6 Zahlen gezogen. Die Reihenfolge ist dabei egal.
Berechne die verschiedenen Möglichkeiten.

${49\choose 6}$ $=\frac{49!}{6!\cdot43!}$ $=13.983.816$

Nur eine von diesen Möglichkeiten gewinnt, die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:
$\frac{1}{13.983.816}$ $\approx0,000000072$


Beispiel

8 Mannschaften nehmen an einem Fußballturnier teil. Wie viele Endspielpaarungen sind denkbar?

${8\choose 2}=28$