Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung wird genutzt, um einen Term so umzuformen, dass man die erste oder zweite binomische Formel rückwärts anwenden kann.

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Vorgehensweise

  1. Quadratische Term mit der Form:
    $x^2+px$
    Wichtig: Falls ein Koeffizient vor $x^2$ steht, muss dieser vorher ausgeklammert werden

  2. Quadratische Ergänzung
    $x^2+px\color{red}{+(\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2}$

  3. Binomische Formel rückwärts anwenden $(x+\color{red}{\frac{p}{2}})^2\color{red}{-(\frac{p}{2})^2}$
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Tipp

Die quadratische Ergänzung wird häufig benutzt, um eine quadratische Funktion in die Scheitelpunktform zu bekommen oder eine gemischt quadratische Gleichung zu lösen.

Beispiel

Bringe die Funktion $f(x)=2x^2-80x$ in die Scheitelpunktform

  1. Koeffizient vor $x^2$ ausklammern


    $f(x)=2x^2-80x$
    $f(x)=2(x^2-40x)$

  2. Quadratische Ergänzung anwenden


    $f(x)=2(x^2-40x+\color{red}{(\frac{40}{2})^2}-\color{red}{(\frac{40}{2})^2})$

  3. 2. binomische Formel rückwärts anwenden und Klammer auflösen


    $f(x)=2(x^2-40x+\color{red}{20^2}-\color{red}{20^2})$
    $f(x)=2((x-\color{red}{20})^2-\color{red}{400})$
    $f(x)=2(x-20)^2-800$