Lineare Substitutionsregel

Beim Integrieren verketteter Funktionen der Form $f(g(x))$ mit einer linearen inneren Funktion nutzt man die lineare Substitutionsregel:

$\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac1m F(mx+n)+C$
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Merke

Die lineare Substitutionsregel darf nur angewendet werden, wenn die innere Funktion $g(x)$ eine lineare Funktion ist (also: $g(x)=mx+n$).

$f(g(x))$ $=f(mx+n)$
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Tipp

Neben der Integration durch lineare Subsitution (lineare Substitutionsregel), gibt es für beliebig verkettete Funktionen die Integration durch nichtlineare Subsitution.

Die lineare Subsitution ist eigentlich nur ein Spezialfall der allgemeinen Subsitution, jedoch reicht sie für die meisten Aufgaben aus.

Beispiele

$\int (2x+4)^2 \, \mathrm{d}x$

  1. Funktion in Teilfunktionen zerlegen

    $f(x)=x^2$ und $g(x)=\color{red}{2}x+4$

    $\color{red}{m=2}$

  2. $f(x)$ integrieren

    Anwenden der Potenzregel
    $F(x)=\color{blue}{\frac13}x\color{blue}{^3}$

  3. Einsetzen

    $\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{m}} \cdot\color{blue}{F}(mx+n)+C$

    $\int (2x+4)^2 \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{2}} \cdot \color{blue}{\frac13}(2x+4)^\color{blue}{3}+C$ $=\frac16(2x+4)^3+C$

$\int e^{2x} \, \mathrm{d}x$

  1. Funktion in Teilfunktionen zerlegen

    $f(x)=e^x$ und $g(x)=\color{red}{2}x$

    $\color{red}{m=2}$

  2. $f(x)$ integrieren

    Anwenden der Potenzregel
    $F(x)=\color{blue}{e}^x$

  3. Einsetzen

    $\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{m}} \cdot\color{blue}{F}(mx+n)+C$

    $\int e^{2x} \, \mathrm{d}x$ $=\frac{1}{\color{red}{2}} \cdot \color{blue}{e}^{2x}+C$
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Tipp

Bei e-Funktionen (zweites Beispiel) gibt es einen "Trick", um das Integral noch schneller zu lösen:

Die Stammfunktion einer e-Funktion mit linearer innerer Funktion bekommt man, indem man durch die Ableitung der inneren Funktion teilt.

$\int e^{g(x)} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{g(x)}}{g'(x)}+C$
Beispiel: $\int e^{2x} \, \mathrm{d}x=\frac{e^{2x}}{2}+C$