Flächeninhalt unter Funktionsgraph

Der Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse lässt sich mit dem bestimmten Integral berechnen. Dabei solltest du folgendes beachten:

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Merke

Beim bestimmten Integral gehen die Flächenstücke, welche oberhalb der x-Achse liegen, positiv und, die unterhalb, negativ ein.

Bestimmtes Integral einer positiven Funktion

Der Flächeninhalt unter einer positiven Funktion $f(x)\ge0$ über $[a; b]$ entspricht dem bestimmten Integral.

$A=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$

Bestimmtes Integral einer negativen Funktion

Der Flächeninhalt unter einer negativen Funktion $f(x)\le0$ über $[a; b]$ entspricht dem negativen bestimmten Integral.

$A=-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$

Bestimmtes Integral einer Funktion mit Vorzeichenwechsel

Das bestimtme Integral einer Funktion $f$ mit Vorzeichenwechsel entspricht der Flächenbilanz über $[a; b]$.

$A_2-A_1=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$

Der Flächeninhalt ist also:

$A=-\int_a^m f(x)\,\mathrm{d}x \,+$ $\int_m^b f(x)\,\mathrm{d}x$