Windschiefe Geraden

Geraden, die weder parallel sind, noch sich schneiden, nennt man windschief.

Beispiel

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}$

1. Richtungsvektoren nicht kollinear?

   Zuerst wird untersucht, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander (=kollinear) sind.

   $\vec{a}=t\cdot\vec{b}$

   $\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}$

   Für jede Zeile wird nun $t$ berechnet

   1. $0=t\cdot0$
   2. $4=t\cdot0$
   3. $0=t\cdot8$
   
   
   1. $0=0$
   2. $4=0$
   3. $t=0$

   Aus der zweiten Zeile ergibt sich ein Widerspruch. Die Richtungsvektoren sind daher nicht kollinear.

2. $g$ und $h$ gleichsetzen

   Es wird versucht, einen Schnittpunkt zu ermitteln, indem man die Geraden gleichsetzt. Bei einem Widerspruch handelt es sich um windschiefe Geraden.

   $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}$

   Nun stellen wir ein Gleichungsystem auf und lösen es.

   1. $2+r\cdot0=6+s\cdot0$
   2. $4+r\cdot4=4+s\cdot0$
   3. $6+r\cdot0=8+s\cdot8$
   
   
   1. $2=6$
   2. $4+4r=4$
   3. $6=8+8s$

   Aus I. folgt ein Widerspruch (falsche Aussage)
   => windschiefe Geraden