Zusammenfassung

Ebenengleichungen

Eine Auflistung verschiedener Ebenengleichungen:

Parametergleichung
$\text{E: } \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$
Normalengleichung
$\text{E: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$
Koordinatengleichung
$\text{E: } ax+by+cz=d$
$\text{E: } \frac{x}a+\frac{y}b+\frac{z}c=1$

Bei der letzten handelt es sich um die Achsenabschnittsgleichung, eine Spezialform der Koordinatengleichung.

Ebenengleichungen umformen

  1. Parametergleichung → Normalengleichung

    Normalenvektor berechnen (Skalarprodukt oder Kreuzprodukt) und mit Stützvektor einsetzen

  2. Normalengleichung → Parametergleichung

    2 Richtungsvektoren finden (senkrecht zum Normalenvektor) und mit Stützvektor einsetzen

  3. Koordinatengleichung → Normalengleichung

    Normalenvektor ablesen und beliebigen Stützpunkt in der Ebene suchen

  4. Normalengleichung → Koordinatengleichung

    Ausmultiplizieren (mithilfe des Skalarproduktes)

  5. Koordinatengleichung → Parametergleichung

    3 beliebige Punkte der Ebene suchen und Parametergleichung aufstellen

  6. Parametergleichung → Koordinatengleichung

    Der Weg ist schwieriger und man sollte stattdessen über die Normalengleichung gehen (erst 1, dann 4).