Die Hessesche Normalform kann genutzt werden, um den Abstand eines Punktes $P$ zu einer Ebene $E$ zu berechnen.
Dazu setzen wir den Ortsvektor $\vec{p}$ des Punktes in die Hessesche Normalform ein. Man erhält dann den Abstand $d$.
Da man bei Punkten unter der Ebene negative Werte erhält, es aber keinen negativen Abstand gibt, benötigt man den Betrag.
Für den Abstand eines Punktes zur Ebene stellt man also zuerst die HNF auf und setzt dann den Punkt ein.
$A(1|2|1)$
$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$
$|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}$ $=\sqrt{24}$
$\vec{n_0}= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ $=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}$
$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}=0$
$\vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$d=$ $\left|\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=|-\frac4{\sqrt{24}}|$ $\approx0,82$