Abstand paralleler Geraden

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

1. Parallelität überprüfen

   Da diese Methode nur bei parallelen Geraden funktioniert, muss man überprüfen, ob die Geraden parallel sind.

   Dazu schauen wir, ob die Richtungsvektoren kollinear (parallel) sind.

   $\vec{a}=r\cdot\vec{b}$

   $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow r=3$

   Es existiert ein $r$: Die Vektoren sind Vielfache voneinander und daher parallel.

2. Punkt auswählen

   Man kann jeden beliebigen Punkt der Gerade nehmen. Da man den Stützpunkt jedoch einfach ablesen kann, bietet sich dieser an.

   $P(-1|0|3)$

3. Abstand des Punktes zur anderen Geraden

   Der Abstand kann nun wie unter Abstand Punkt und Gerade beschrieben berechnet werden.

   Zuerst eine Hilfsebene mit $P$ als Stützpunkt und Richtungsvektor als Normalenvektor aufstellen.

   $\text{H: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$

   $\text{H: } (\vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

   Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden $g$ und der Hilfsebene $H$. Zur Berechnung des Schnittpunkts wird die Geradengleichung für $\vec{x}$ in die Ebene eingesetzt.

   $\left(\color{red}{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right)$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

   $\begin{pmatrix} 2+r \\ 2+r \\ -2 \end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

   Skalarprodukt berechnen

   $(2+r)\cdot1+(2+r)\cdot1$ $+(-2)\cdot0=0$
   $4+2r=0\quad|-4$
   $2r=-4\quad|:2$
   $r=-2$

   $r$ in $g$ einsetzen, um Lotfußpunkt $F$ zu erhalten

   $\vec{OF} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \color{red}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 1-2 \\ 2-2 \\ 1-0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

   
   

   $F(-1|0|1)$

   Der Abstand des Lotfußpunktes zum Punkt $P$ ist auch der Abstand der Geraden zu diesem Punkt.

   Der Abstand zwischen zwei Punkten lässt sich einfach mit Vektoren berechnen.

   $d=|\vec{PF}|$ $=\left| \begin{pmatrix} -1-(-1) \\ 0-0 \\ 1-3 \end{pmatrix}\right|$ $=\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\right|$ $=\sqrt{(-2)^2}$ $=2$

   Der Abstand der beiden Geraden $g$ und $h$ beträgt 2 LE.