Differenzenquotient

Im Gegensatz zu linearen Funktionen besitzen andere Funktionstypen keine konstante Steigung.
Zur Berechnung der durchschnittlichen Steigung zwischen zwei Punkten $P_1(x_0|f(x_0))$ und $P_2(x|f(x))$ nutzt man daher den Differenzenquotienten:

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
!

Merke

Der Differenzenquotient ist die mittlere Steigung (durchschnittliche Steigung) zwischen zwei Punkten.

Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekanten, die durch die Punkte $P_1(x_0|f(x_0))$ und $P_2(x|f(x))$ geht.

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Tipp

Im Grunde zeichnet man nur eine Gerade (die Sekante) durch die beiden Punkte und berechnet es wie die Steigung einer linearen Funktion: $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Beispiel

Bestimme den Differenzenquotient der Funktion $f(x)=x^2$ von den beiden Punkten $P_1(2|f(2))$ und $P_2(5|f(5))$

$m=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(5)-f(2)}{5-2}$ $=\frac{5^2-2^2}{3}$ $=\frac{25-4}{3}$ $=\frac{21}{3}=7$