Ableiten/Differenzieren

Ableiten oder Differenzieren bezeichnet das Berechnen der Ableitungsfunktion.
Für das Ableiten gibt es zwei wichtige Methoden.

h-Methode

Bei der h-Methode nutzt man den Differenzialquotienten. Dabei setzt man aber keinen bestimmten Punkt $x$ ein, sondern lässt den Abstand der Punkte ($h=x-x_0$) gegen 0 laufen:

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

Beispiel

$f(x)=x^2$ ableiten

  1. Einsetzen

    $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$
    $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{(x+h)^2-x^2}{h}}$

    Binomische Formeln anwenden und vereinfachen.
    $=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}}$ $=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{2xh+h^2}{h}}$

  2. Kürzen

    Nun muss der Bruch aufgelöst werden, denn, wenn man 0 für h einsetzen würde, ergibt der Nenner 0 (Division durch 0 nicht erlaubt!).
    $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{2xh+h^2}{h}}$
    Ausklammern und kürzen
    $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{h(2x+h)}{h}}$ $=\lim\limits_{h \to 0}(2x+h)$

  3. $h=0$ einsetzen

    Jetzt lässt man $h$ gegen 0 laufen und erhält die Ableitung.
    $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}(2x+\overbrace{h}^{\to 0})=2x$

Ableiten mit Ableitungsregeln

Eine deutlich einfachere Methode um eine Funktion abzuleiten, sind die Ableitungsregeln.

FunktionAbleitung
Konstanten-, Potenz- und Faktorregel
$f(x)=c$ $f'(x)=0$
$f(x)=x^n$ $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$
$f(x)=k\cdot g(x)$ $f'(x)=k\cdot g'(x)$
Summenregel
$f(x)=g(x)+h(x)$ $f'(x)=g'(x)+h'(x)$
Produktregel
$f(x)=g(x)\cdot h(x)$ $f'(x)=g'(x)\cdot h(x)$ $+h'(x)\cdot g(x)$
Quotientenregel
$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ $f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x) -h'(x)\cdot g(x)}{(h(x))^2}$
Kettenregel
$f(x)=g(h(x))$ $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Beispiel

Potenzregel:
$f(x)=x^2$
$f'(x)=2x^{2-1}=2x$